Maxwell-Boltzmann-Verteilung
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Einordnung: Statistische Physik
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In einem idealen Gas bewegen sich nicht alle Gasteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit, sondern statistisch verteilt mit verschiedenen Geschwindigkeiten (siehe Kinetische Gastheorie).
Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung (nach James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann; teilweise auch maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung genannt) gibt dabei an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich ein Gasteilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt.
Die Verteilung ist im dreidimensionalem Raum gegeben durch
- <math>
f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{m}{\mathrm{k}T} \right)^{3/2} v^2 \exp\left( -\frac{mv^2}{2\mathrm{k}T} \right) <math>,
wobei v die Teilchengeschwindigkeit, m die Teilchenmasse, k die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur des Gases ist.
Bei einer eindimensionalen Betrachtung lautet die Maxwell-Boltzmann-Verteilung
- <math>
f(v) = \sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{k}T}} \exp\left( -\frac{mv^2}{2\mathrm{k}T} \right) <math>, wobei die Geschwindigkeit v nur in eine Richtung resp. auch noch in die zugehörige Gegenrichtung (z.B. +x-Richtung und -x-Richtung) weisen kann.
Die Wahrscheinlichkeit w, dass ein Gasteilchen eine Geschwindigkeit zwischen v1 und v2 besitzt, errechnet sich, unabhängig von der Dimension, aus
- <math>
w=\int_{v1}^{v2} f(v)\, dv <math>.
Die folgenden beiden Abbildungen verdeutlichen die Abhängigkeit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung von der Masse und der Temperatur der Teilchen.
Mit steigender Temperatur T nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit zu und die Verteilung wird gleichzeitig breiter. Mit steigender Teilchenmasse m hingegen nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit ab und die Geschwindigkeitsverteilung wird gleichzeit schmaler (Hinweis: m(H2) = 2 u; m(N2) = 14 u; m(Cl2) = 71 u)
Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vw, also die Geschwindigkeit am Maximum der Verteilungsfunktion berechnet sich aus
- <math>
v_{\mathrm{w}} = \sqrt{{2kT} \over m} <math>
und die durchschnittliche Geschwindigkeit vd aus
- <math>
v_{\mathrm{d}} = \sqrt{{8kT} \over {\pi m}} <math>.
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