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Monte-Carlo-Simulation

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Einordnung: Statistische Physik | Theoretische Physik | Werkzeug der Chemie

Eine Monte-Carlo-Simulation ist eine spezielle Art der Simulation, bei der aufgrund eines Modells mit zufällig ausgewählten Werten gearbeitet wird. Der Name leitet sich von der Stadt Monte Carlo ab, die für ihre Spielcasinos bekannt ist.

Monte-Carlo-Simulationen sind besonders geeignet, um statistische Mittelwerte einer Größe <math>\mathcal{A}<math>,

<math> <\mathcal{A}> = \sum_{x \in \Omega} P(x) \mathcal{A}(x), <math>

oder hochdimensionale Integrale (Monte-Carlo-Integration) wie

<math> \int_{x \in \Omega} P(x) \mathcal{A}(x) d^n x <math>

zu berechnen. <math>P(x)<math> soll in diesem Zusammenhang ein normiertes statistisches Gewicht (z.B. ein Boltzmanngewicht) sein. <math>\mathcal{A}(x)<math> ist der Wert der Größe <math>\mathcal{A}<math> im Zustand <math>x<math>. Die Summation bzw. Integration verläuft hier über einen Raum <math>\Omega<math>, z.B. der Phasenraum der Teilchen im System.

Häufig ist der Raum <math>\Omega<math> so groß, dass die Summation nicht vollständig durchgeführt werden kann. Stattdessen erzeugen wir nun eine Markowkette <math>x_1,x_2,x_3,\ldots<math> von Zuständen in <math>\Omega<math>, deren Häufigkeit wie das vorgegebene Gewicht <math>P(x)<math> verteilt ist. Bereiche des Raums <math>\Omega<math> mit hohem Gewicht sollen also häufiger in der Markowkette vertreten sein als Bereiche mit niedrigem Gewicht. (Man spricht hier von Importance Sampling). Gelingt dies, so lassen sich die Erwartungswerte einfach als arithmetisches Mittel der Größe <math>\mathcal{A}<math> zu diesen Zuständen der Markovkette berechnen, also als

<math><\mathcal{A}>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \mathcal{A}(x_i).<math>

Dieser Zusammenhang basiert auf dem Gesetz der großen Zahl. Je nach physikalischem System kann es schwierig sein, diese Markowkette zu erzeugen. Insbesondere muss man sicherstellen, dass die Markovkette tatsächlich den gesamten Raum <math>\Omega<math> bedeckt und nicht nur einen Teil des Raumes sampelt. Man sagt, der Algorithmus muss ergodisch sein.

Auch quantenmechanische Systeme lassen sich mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen untersuchen. Man spricht dann von Quanten-Monte-Carlo-Simulationen. Insbesondere quantenmechanische Gittermodelle (wie das Hubbard-Modell) lassen sich mit Hilfe von Qanten-Monte-Carlo-Algorithmen sehr effektiv untersuchen.

Metropolis Monte Carlo

Die von Metropolis et al. publizierte Methode zur Untersuchung statistisch-mechanischer Systeme mittels Computersimulation leitet sich von der Monte-Carlo-Integration ab.

Sequentielle Monte-Carlo Methoden (SMC)

Sequentielle Monte Carlo (SMC) Methoden eignen sich zur Bayesschen Zustandsschätzung von dynamischen Systemen. Ziel der SMC-Methoden ist es, den Systemzustand als Funktion der Zeit auf Basis von einer Reihe Beobachtungen des Systems und a priori Kenntnisse der Systemdynamik zu schätzen. Dazu wird die komplizierte Wahrscheinlichkeitsdichte des Zustandes diskret durch eine Menge von Partikeln approximiert.

Quellen





Info Hinweis: Dieser Artikel basiert auf dem Ursprungsartikel Monte-Carlo-Simulation aus der Wiki pedia und er steht unter der GNU-Lizenz link fuer freie Dokumentation, eine Autoren-Liste ist ebenfalls verfuegbar.