Periode (Mathematik)
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In der Mathematik hat der Begriff Periode mehrere Bedeutungen, die alle mit einer Wiederholung zusammenhängen.
| Inhaltsverzeichnis |
Periode eines Bruches
Als Periode bezeichnet man in der Mathematik eine nach dem Komma eines Dezimalbruches sich immer wieder wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge.
Periodische Darstellungen rationaler Zahlen treten in jedem Stellenwertsystem auf, dieser Artikel beschränkt sich jedoch der Einfachheit halber auf die Beschreibung von Brüchen im Dezimalsystem. In anderen Zahlensystemen sind jedoch nicht die gleichen Zahlen periodisch; Die nichtperiodische Dezimalzahl 0,1 ist z.B. im Binärsystem periodisch. Periodische und Nichtperiodische Zahlen sind daher keine mathematisch besonderen Gruppe innerhalb der Bruchzahlen.
Beispiele:
0,3333333333333333333... (und immer weiter 3) 1,565656565656565656... (und immer weiter mit 56) 59,073123451234512345... (und immer weiter mit 12345)
Darstellung mit Periodenstrich
Um die Zahl aufzuschreiben notiert man über der sich wiederholenden Zahl bzw. Zahlenfolge einen Balken.
Beispiel:
<math>0{,}\overline{3} \ ; \ 1{,}\overline{56} \ ; \ 59{,}073\overline{12345}<math>
Perioden treten im Dezimalsystem immer dann auf, wenn sich der Nenner des zugrunde liegenden Bruches nicht ausschließlich durch die Primfaktoren 2 und 5 erzeugen lässt -- 2 und 5 sind die Primfaktoren der Zahl 10, der Basis des Dezimalsystems. Ist der Nenner eine Primzahl (außer 2 und 5), so hat die Periode höchstens eine Länge, die um eins niedriger ist, als der Wert des Nenners (in den Beispielen fett dargestellt).
Beispiele:
1/3 = 0,3333... 1/7 = 0,142857142857... 1/11 = 0,0909090909... 1/13 = 0,076923076923... 1/17 = 0,0588235294117647... 1/19 = 0,052631578947368421...
Darstellung als Bruch
Periodische Zahlen gehören zur Menge der rationalen Zahlen (vulgo Bruchzahlen) und lassen sich daher immer auch als Bruch schreiben. Die Periode steht dabei im Zähler, im Nenner stehen soviele Neunen, wie die Periode Stellen hat. Für jede Nachkommastelle vor der eigentlichen Zahlenfolge hängt man dann eine Null an den Nenner an. Danach kann eventuell noch gekürzt werden:
0,33333333... = 3/9 = 1/3 0,55555555... = 5/9 0,516516516... = 516/999 = 172/333 0,00606060... = 60/9900 = 1/165 0,83333333... = 8/10 + 3/90 = 72/90 + 3/90 = 75/90 = 5/6
Formalisierung
Mithilfe folgender Formel lässt sich ebenfalls rasch eine Darstellung der periodischen Zahl als Bruch ermitteln:
- <math>p=\frac{(10^m-1)a+x \cdot 10^{m-n}}{10^m-1}<math>
Dabei sind p die periodische Zahl, m die Länge der Periode, n die Anzahl der Nachkommastellen bis nach Beginn der Periode, a die Zahl, die vor Beginn der Periode steht und x die Periode als Ganzzahl.
Befindet sich die Periode gleich nach dem Komma, ist
<math>p=\frac{(10^m-1)a+x}{10^m-1}<math>
weil m und n in diesem Fall gleich sind.
Die Periode für sich alleine ist demnach
<math>p-a=\frac{x}{10^m-1}<math>
Man beachte, dass der Nenner immer die Form 999... annimmt, und die Länge m besitzt.
Für <math>0{,} \overline{54211}<math> wäre dies: <math>\frac{54211}{99999}<math>
Beispiel:
<math>p = 2{,}145 \overline {64}<math>
m = 2; n = 5; a = 2,145; x = 64
Dann ist
- <math>2{,}145 \overline {64}=\frac{(10^2-1) \cdot 2{,}145+64 \cdot 10^{-3}}{10^2-1} = \frac{99 \cdot 2,145+0,064}{99}=\frac{212{,}419}{99}<math>
Erweitert man mit 1000, so erhält man einen Bruch ohne Komma:
- <math>\frac{212419}{99000}<math>
Besonderheit der Zahl 0,999999...
Wie oben beschrieben kann man den Wert von 0,999999... zu 9/9 berechnen. Da 9/9 jedoch genau gleich 1 ist, ist
- 0,999999... = 1.
Diese Tatsache ist anschaulich schwer verständlich, mathematisch jedoch richtig. Sie hängt eng mit der Definition eines Dezimalbruchs als unendliche Reihe zusammen. Man kann sagen, dass die Zahl mit jeder weiteren 9 näher an 1 heranrückt. Da es jedoch unendlich viele Neunen sind, kommt die Zahl beliebig nahe an 1 heran; also ist sie 1!
Ebenso wird 0,7999999... zu 0,8 usw.
Periode einer Funktion
In der Analysis bezeichnet eine Periode den Abstand, in dem sich die Funktionswerte einer Periodischen Funktion wiederholen.
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