Perkolation
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| Inhaltsverzeichnis |
Technik / Hydrologie
Perkolation beschreibt das Durchfließen von Wasser durch eine festes Substrat. Dabei kann es zu Herauslösung oder Fällung von Mineralien kommen. Perkolation wird auch als Sickerlaugung bezeichnet.
Gebräuchlich ist dieser Begriff vor allem in der Hydrologie, wo er die Wassermenge umfasst, die den Boden durchsickert. Es kommt erst zur Perkolation wenn die Feldkapazität, also die maximale Wasseraufnahmekapazität des Bodens, überschritten wird. Hierdurch kommt es zur Bildung von Grundwasser.
Statistische Physik/Mathematik
Allgemeines
Die Perkolationstheorie beschreibt das Ausbilden von zusammenhängenden Gebieten (Clustern) bei zufallsbedingtem Besetzen von Strukturen (Gittern). Beispiele sind die Punktperkolation oder die Kantenperkolation.
Bei der Punktperkolation werden Gitterpunkte mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit besetzt, bei der Kantenperkolation werden besetzte Punkte untereinander Verbunden. Man kann sich aber beliebige zufällig erzeugte Objekte (wie z.B. Tröpfchen) vorstellen, die dann untersucht werden.
Mit der Perkolationstheorie können Phänomene wie elektrische Leitfähigkeit von Legierungen, Ausbreitungen von Epidemien und Waldbränden oder Wachstumsmodelle beschrieben werden.
Historisch geht die Perkolationstheorie (engl.: percolation theory)
auf Flory und Stockmayer zurück, die sie während des Zweiten Weltkriegs
entwickelten, um Polymerisationsprozesse zu beschreiben. Der
Polymerisationsprozess kommt durch das Aneinanderreihen von Molekülen
zustande, die dadurch Makromoleküle bilden. Der Verbund von solchen
Makromolekülen führt zu einem Netzwerk von Verbindungen, die sich
durch das ganze System ziehen können.
In der Geologie/Hydrologie beschreibt die Perkolation einfache Modelle zur Ausbreitung von Flüssigkeiten in porösem Gestein (siehe oben), die als anschauliche Beispiele der unten beschrieben Clusterbildung dienen.
Modellbildung
Perkolationen werden auf Gittern modelliert, wobei Kristallgitter (siehe auch Kristallstruktur) als Interpretationen von Gitter (Mathematik) sind.
Knotenperkolation (site percolation)
Allgemein läßt sich ein einfaches Modell für die "Knoten-" oder "Platzperkolation" konstruieren:
Quadrate eines zweidimensionalen Quadratgitters werden durch eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung besetzt. Ob ein Feld besetzt wird oder
leer bleibt ist unabhängig der Besetzung der Nachbarfelder; besetzte
Felder "ignorieren" sozusagen die Nachbarfelder. Des Weiteren wird
das Gitter als so groß angenommen, dass Randeffekte vernachlässigt
werden können (im Idealfall unendlich groß). Abhängig von der gegebenen Verteilung werden sich
Gruppen auf dem Gitter bilden, das heißt besetzte Felder in unmittelbarer
Nachbarschaft. Diese Gruppen - als Cluster bezeichnet - werden umso größer sein, je größer die Wahrscheinlichkeit zur Besetzung eines Feldes ist. Die Perkolationstheorie beschäftigt sich
nun mit Eigenschaften wie Größe oder Länge dieser Cluster.
Wenn <math>p<math> die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Feld besetzt ist, bilden
sich mit dem Ansteigen von <math>p<math> größere Cluster aus. Die
Besetzungswahrscheinlichkeit <math>p_{c}<math> ist als der Wert definiert, bei
dem mindestens ein Cluster eine Größe erreicht, dass er sich durch das
gesamte System erstreckt, also eine Ausdehnung auf dem Gitter von der
rechten zur linken und von der oberen zur unteren Seite hat. Man sagt:
Der Cluster perkoliert durch das System. Die Größe <math>p_{c}<math> ist die
so genannte Perkolationsschwelle.
Kantenperkolation (bond percolation)
Das Gegenstück dazu wird "Kantenperkolation" (engl.: bond percolation) genannt.
Ein Gitter, z.B. oben genanntes Quadratgitter, ist vollständig besetzt und es bestehen von jedem Feld des Gitters vier Verbindungen zu den jeweils vier Nachbarfelder. Nun ist mit einer Wahrscheinlichkeit <math>p<math> eine Verbindung zu einem Nachbarfeld geöffnet und mit einer wahrscheinlichkeit <math>1-p<math> die Verbindung geschlossen. Diese Art der Perkolation lässt sich gut mit dem oben genannten Modell in der Geologie vergleichen. Die Hohlräume in einem porösen Gestein sind mit Wasser gefüllt und durch ein Netzwerk von Kanälen verbunden. Mit einer Wahrscheinlichkeit <math>p<math> besteht ein Kanal zwischen zwei nächsten Nachbarn, und mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>1-p<math> besteht keiner.
Ein Cluster ist dann als Gruppe von Gitterplätzen definiert, die durch offene Kanäle verbunden sind. Auch hier ist <math>p_{c}<math> wieder die Perkolationsschwelle und es gibt für <math>p>p_{c}<math> einen Cluster, der durch das gesamte System perkoliert, während ein solcher Cluster bei
<math>p(Werte entnommen aus www.ica1.uni-stuttgart.de/Courses_and_Lectures/Simulationsmethoden/skript.pdf
Gerichtete Perkolation
Die gerichtete Perkolation (directed percolation <math>\rightarrow<math> DP) läßt sich sehr anschaulich mit einer
Kaffeemaschine (engl. coffee percolator) oder mit dem bereits erwähnten
porösen Gestein erklären.
Anhand der bond-Perkolation wird der Unterschied zwischen
"normaler", oder isotroper Perkolation (IP) und der gerichteten Perkolation
klar.
Wenn Wasser auf ein poröses Medium gegossen wird, stellt sich die Frage, ob das Medium durchdrungen werden kann, d.h. ob es einen Kanal von der Oberseite zur Unterseite des Mediums gibt, oder ob das Wasser vom Mediuim absorbiert wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Wasser auf einen offenen Kanal trifft ist wie bei einer isotropen Perkolation durch <math>p<math> gegeben. Im Gegensatz zu der isotropen Perkolation existiert eine gegebenen Vorzugsrichtung. Wasser in porösem Gestein wie auch in der Kaffemaschine bewegt sich in die Richtung, die durch die Gravitation bestimmt wird. Die Perkolationsschwelle <math>p_{c}<math> ist bei der gerichteten Perkolation größer als bei der isotropen Perkolation.
Siehe auch
- Suche nach Perkolation Infos mit: Yahoo