Planimetrie
www.infos-aus-germanien.info
Einordnung: Ebene Geometrie
- Was heißt Planimetrie auf:
Englisch - Französisch - Italienisch - Niederländisch und Schwedisch sowie Spanisch
- Sie wissen mehr über das Thema Planimetrie und möchten uns dazu etwas mitteilen?
Benutzen Sie dazu bitte unser Forum und eröffnen Sie einen neuen Thread zum Thema Planimetrie.
Unter dem Begriff Planimetrie versteht man allgemein die Geometrie in der Ebene. Im Speziellen versteht man darunter die Messung von Flächen in der Ebene.
Einfache Flächen wie die eines Kreises oder eines Rechtecks in der Ebene können aus bekannten Längenwerten berechnet werden. Unregelmäßige Flächen, wie z. B. die Fläche eines Ahornblattes, müssen mit planimetrischen Methoden abgeschätzt oder mit dem Planimeter ausgemessen werden.
| Inhaltsverzeichnis |
Dreiecke
Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.
Gleichschenkliges Dreieck
besteht aus 2 gleich langen Schenkeln und einer Basis und 2 gleichgroßen Basiswinkeln
Gleichseitiges Dreieck
besteht aus gleich langen Seiten (jeder Winkel ist 60° groß (180°/3))
Rechtwinkliges Dreieck
besteht aus 2 Katheten und einer Hypotenuse
Satz des Thales
Liegt eine Seite eines Dreiecks auf dem Durchmesser des Umkreises, so ist der Winkel dieser gegenüberliegenden Seite ein rechter Winkel. Hieraus folgt: In jedem rechtwinkeligen Dreieck ist die Strecke vom Mittelpunkt der Hypothenuse zum der Hypothenuse gegenüberliegenden Punkt gleich der halben Hypothenuse.
Dreiecksungleichung
In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen größer als die Länge der dritten Seite.
Flächenberechnung
Allgemein berechnet man die Fläche eines Dreieckes als Fläche eines halben Parallelogramms. A = ½ g h g = Grundlinie h = Höhe d.h.: die Fläche = 2 Seiten * Sinus des eingeschlossenen Winkels Zur Vermeidung von Winkelfunktionen, wenn keine Winkel gegeben sind: Bei gegebenen Seiten a,b,c errechnet man sich zunächst den Umfang U = a + b + c und danach s = U/2. Dann gilt nach der Heronschen Flächenformel A² = s * (s-a) * (s-b) * (s-c) und A als die Quadratwurzel daraus.
Besondere Linien und Punkte
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechten stehen senkrecht auf den Seitenmitten und schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.
Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierenden halbieren die Innenwinkel und schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.
Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierenden verbinden die Seitenmitten mit den gegenüber liegenden Ecken und schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.
Winkel am Kreis
Beispiel: Mittelpunktwinkel = 120° Umfangswinkel = 60° Sehnen-Tangenten-Winkel = 60°
- Die Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind alle gleich groß.
- Die Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind halb so groß wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.
- Die beiden Sehnen-Tangenten-Winkel gleich Umfangwinkel; halb so groß, wie Mittelpunktwinkel
Strahlensätze
2 Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt werden von 2 Parallelen geschnitten.
1. Strahlensatz
Vom Schnittpunkt ausgesehen verhalten sich Abschnitte auf dem einen Strahl zueinander, wie die gleich liegenden Abschnitte auf den anderen.
2. Strahlensatz
Vom Schnittpunkt ausgesehen verhalten sich die Parallelabschnitte wie zugehörigen Abschnitte ein und desselben Strahls.
Kongruenz
Ein Dreieck ist dann kongruent mit einem anderen, wenn sie durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen deckungsgleich sind, also die gleiche Form haben.
- Ein Dreieck besteht aus 3 Seiten und 3 Winkeln (also 6 Angaben).
- 3 Angaben reichen aus, um ein Dreieck mit Zirkel und Geodreieck konstruieren zu können
- 5 Kombinationen: SSS, SWS, WSW, WWS, SSW
- Wenn 3 Winkel gegebenen sind, kann Dreieck nicht eindeutig gezeichnet werden, weil das Dreieck unendlich oft unterschiedlich groß gezeichnet werden kann.
- SSS bedeutet, dass Dreiecke kongruent sind, wenn die Länge der 3 Seiten mit dem anderen Dreieck übereinstimmen.
- SWS: Seite-Winkel-Seite: 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.
Ähnlichkeit
2 Dreiecke sind ähnlich wenn,
- jede Seite Verhältnis
- zwei Winkel übereinstimmen (Hauptähnlichsatz)
- in einem Winkel und den anliegen den Seiten übereinstimmen
- in zwei Seiten übereinstimmen und der größte Winkel der größten Seite gegenüberliegt
- Ähnlichkeit ist nicht gleich Kongruenz
Weblink
- Software zur Flächenberechnung
- Suche nach Planimetrie Infos mit: Yahoo