Poisson-Gleichung
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Einordnung: Partielle Differentialgleichungen | Elektrostatik
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Die Poisson-Gleichung (nach Siméon Denis Poisson) beschreibt ein Randwertproblem, bei dem die Ableitungen eines Vektorfeldes auf der Oberfläche eines Volumens gegeben sind. Anwendung findet diese beispielsweise in der Elektrostatik (Gaußsches Gesetz). Ebenso kann man das Gravitationspotential einer gegebenen Massenverteilung bestimmen.
Die Poisson-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:
- <math>
\frac{\partial^2}{\partial x^2} \varphi(x,y,z) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \varphi(x,y,z) + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \varphi(x,y,z) = f(x,y,z) <math>
oder kürzer
- <math>\nabla^2 \varphi = f<math>
oder
- <math>\Delta \varphi = f<math>
d.h. in der Poissongleichung wird der Laplace-Operator <math>\Delta<math> angewendet auf eine Funktion <math>\phi<math> gleich f gesetzt.
Die homogene Form der Poisson-Gleichung ist die Laplace-Gleichung.
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