Produkt (Mathematik)

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In der Mathematik bezeichnet der Begriff Produkt das Ergebnis bestimmter Verknüpfungen. Das bekannteste Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation von Zahlen.

Inneres Produkt

In Innenprodukträumen wird mit Skalarprodukt oder inneres Produkt ein eng mit dem Winkel zusammenhängender Begriff bezeichnet.

Produkt der Kategorientheorie

In der Kategorientheorie ist das Produkt einer durch die Menge I indizierten Familie von Objekten <math>\{ A_i \,|\, i\in I \}<math> ein Paar <math>(P, \{ \mbox{pr}_i \,|\, i\in I \})<math>, wobei

• P ein Objekt ist,
• <math>\mbox{pr}_i<math> ein Morphismus (genannt Projektion) von P nach <math>A_i<math> ist (für jedes i aus I),
• und für jedes Objekt C und jede Familie von Morphismen <math>f_i<math> von C nach <math>A_i<math> es genau einen Morphismus f von C nach P gibt mit <math>f_i = \mbox{pr}_i \circ f<math>.

Die letzte Bedingung sichert die 'Eindeutigkeit' der Projektionen. (Dieses Produkt hat eine so genannte universelle Eigenschaft.)

Diese sehr allgemeine Definition enthält viele andere in der Mathematik auftretende Definitionen des Begriffs Produkt:

1. In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige Definition dem kartesischen Produkt.
2. In der Kategorie Top der topologischen Räume mit stetigen Funktionen entspricht obige Definition der des topologischen Produkts: das kartesische Produkt, versehen mit der gröbsten Topologie, bei der alle Projektionen pr(i) noch stetig sind.
3. In der Kategorie Grp der Gruppen, und anderen Kategorien algebraischer Strukturen wie der Kategorie der Ringe oder der der Vektorräume entspricht obige Definition dem direkten Produkt: das kartesische Produkt, versehen mit komponentenweisen Verknüpfungen.

Literatur

• K. Meyberg: Algebra, Teil 2, Hanser Verlag, München, 1976, ISBN 3-446-12172-2, siehe Kapitel 10: Kategorien

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