Pyramide (Geometrie)
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Einordnung: Raumgeometrie
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Eine Pyramide ist in der Geometrie ein dreidimensionaler Körper. Die Grundfläche G ist ein Vieleck, die Seitenflächen sind Dreiecke mit gemeinsamem Scheitel. Pyramiden sind spezielle Polyeder (Vielflächner).
Eine Pyramide mit n-eckiger Grundfläche besitzt n+1 Flächen, n+1 Ecken und 2n Kanten.
Man spricht von einer regulären (geraden) Pyramide, wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der Scheitel sich senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche befindet.
Der Rauminhalt einer Pyramide mit der Grundfläche G und Höhe h kann berechnet werden, wenn man sich die Pyramide aus dünnen Schichten der Dicke dy parallel zur Grundfläche aufgebaut vorstellt. Eine y-Achse lege man nun durch die Spitze der Pyramide, so dass die Höhe h und die y-Achse zusammenfallen. Da die Flächen der Schichten dann durch zentrische Streckung aus der Grundfläche entstehen, hat eine Schicht im Abstand y von der Spitze die Fläche A(y), für welche dann nach dem Strahlensatz gilt:
<math>\frac{y^2}{h^2}=\frac{A(y)}{G} \rightarrow A(y)=\frac{G}{h^2}y^2<math>
Das Volumen einer Schicht ist dann dV = A(y)dy. Schließlich ist das Volumen der Pyramide die Summe der Volumina aller einzelnen Schichten. Diese Summe ergibt sich durch Integration von h=0 bis h.
<math>V=\int_{0}^{h} dV = \int_{0}^{h} A(y)\, \mathrm{d}y = \int_{0}^{h} \frac{G}{h^2}y^2\, \mathrm{d}y = \frac{G}{h^2}\int_{0}^{h} y^2\, \mathrm{d}y = \frac{G}{h^2} \cdot \frac{1}{3}\left[y^3\right]^h_0 = \frac{G}{h^2} \cdot \frac{1}{3}\left[h^3-0\right]=\frac{1}{3}G \cdot h<math>
<math> V = \frac{1}{3}G \cdot h<math>
Spezialfall: Eine Pyramide, deren Grundfläche ein Dreieck ist, nennt man Tetraeder.
Verallgemeinerung: Die Pyramide erfüllt die allgemeine Definition eines Kegels.
Siehe auch: Pyramide (Bauwerk), Pyramidenstumpf, Bipyramide (aus zwei Pyramiden zusammengesetzt)
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