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Quadratwurzel

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Einordnung: Arithmetik | Algebra | Analysis

Unter der Quadratwurzel einer Zahl <math>x<math> versteht man in der Mathematik eine Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl <math>x<math> ist. Das Symbol für die Quadratwurzel aus <math>x<math> ist <math>\sqrt{x}<math>. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Rechenausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Möglich wäre auch die ausführlichere Schreibweise <math>\sqrt[2]{x}<math>. Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken. <math>x^{\frac{1}{2}}<math> ist gleichwertig zu <math>\sqrt{x}<math>.

Beispiel: Wegen <math>3^2 = 3 \cdot 3 = 9<math> gilt <math>\sqrt{9} = 9^{\frac{1}{2}} = 3<math>.

Beim der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort "radix" (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagrechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel <math>\sqrt{}(b^2-4ac)<math> anstelle von <math>\sqrt{b^2-4ac}<math>.

Im Englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Inhaltsverzeichnis
1 Quadratwurzeln aus reellen Zahlen
2 Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen
3 Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen
4 Verallgemeinerung
5 Siehe auch

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Definition: Die Quadratwurzel <math>\sqrt{x}<math> einer nicht-negativen reellen Zahl <math>x<math> ist diejenige nicht-negative reelle Zahl <math>r<math>, deren Quadrat <math>r^2 = r \cdot r<math> gleich <math>x<math> ist.

Das oben erwähnte Problem, dass <math>\sqrt{x}<math> nicht definiert sein könnte, tritt im Bereich der reellen Zahlen für <math>x \ge 0<math> nicht auf. Auch die Eindeutigkeit ist gewährleistet, da negative Zahlen (z.B. -3) ausgeschlossen wurden.

Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, die sich durch einen nicht-periodisch unendlichen Dezimalbruch ausdrücken lässt. Es geht also oft nur darum, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu finden. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:

Beispiel (Näherungswert für <math>\sqrt{2}<math>):
Aus <math>1^2 = 1 < 2<math> und <math>2^2 = 4 > 2<math> folgt, dass <math>\sqrt{2}<math> zwischen 1 und 2 liegen muss.
Daher probiert man <math>1{,}1^2<math>, <math>1{,}2^2<math> usw. durch.
Aus <math>1{,}4^2 = 1{,}96 < 2<math> und <math>1{,}5^2 = 2{,}25 > 2<math> erkennt man, dass <math>\sqrt{2}<math> zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss.
Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit: <math>\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots<math>

<math>\sqrt{x+1}=1 +

\sum_{n=1}^\infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! \over n! \; (n-1)! \; 2^{2n-1} }x^n<math>

<math> = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots<math>

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen

Für eine komplexe Zahl <math>z<math> gibt es keine sinnvolle Möglichkeit, die Eindeutigkeit von <math>\sqrt{z}<math> zu erzwingen. Man kann also für <math>z \ne 0<math> nur von den beiden Quadratwurzeln der Zahl <math>z<math> sprechen. Diese ergeben sich aus

<math> 
  \sqrt{z} = \sqrt{|z| e^{i\left({\rm arg}(z)+n\cdot 2\pi\right)}} = \sqrt{|z|} e^{i\left( {\rm arg}(z)/2+n\cdot \pi\right)},

<math>

wobei <math>n<math> die Werte 0 oder 1 annehmen kann.

Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Bei der Lösung mit <math>n = 0<math> wird das Argument (in der komplexen Zahlenebene also der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der reellen Achse; sein Tangens ist das Verhältnis von Imaginär- zu Realteil) halbiert. Die andere Lösung (für <math>n = 1<math>) ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung am Ursprung.

Beispiel (Quadratwurzeln aus <math>z = -1+i\sqrt{3}<math>):

Zunächst werden Betrag und Argument des Radikanden ermittelt.

<math>r = |-1+i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2<math>
<math>\tan\varphi = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}<math>
<math>\varphi = \frac{2}{3} \pi<math> (2. Quadrant!)

Eine der Wurzeln ergibt sich aus

<math>w_1 = \sqrt{r} \cdot e^{i \frac{\varphi}{2}} = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{1}{3} \pi}<math>
<math>= \sqrt{2} \cdot \left( \cos(\frac{1}{3} \pi) + i \sin(\frac{1}{3} \pi) \right)

= \sqrt{2} \cdot \left( \frac{1}{2} + i \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \right).<math>

Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

<math>w_2 = -w_1 = \sqrt{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \right)<math>


Verallgemeinerung

Die Quadratwurzel ist ein Spezialfall der allgemeinen Wurzel. Eine über dem Wurzelzeichen stehende natürliche Zahl bezeichnet den Wurzelexponenten. Beispielsweise bedeutet im reellen Fall <math>\sqrt[5]{x}<math> diejenige nicht-negative Zahl, deren 5. Potenz gleich <math>x<math> ist. Fehlt der Wurzelexponent, so wird dafür eine 2 angenommen, und es handelt sich um eine Quadratwurzel.

Siehe auch

Schriftliches Wurzelziehen, Babylonisches Wurzelziehen, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2, Wurzel (Mathematik)






Info Hinweis: Dieser Artikel basiert auf dem Ursprungsartikel Quadratwurzel aus der Wiki pedia und er steht unter der GNU-Lizenz link fuer freie Dokumentation, eine Autoren-Liste ist ebenfalls verfuegbar.
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