Statistische Mechanik
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Einordnung: Mechanik | Statistische Physik
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Die Statistische Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik. Sie betrachtet Systeme vieler Teilchen (i.A. Atome, Moleküle, Elementarteilchen), und gewinnt aus den mikroskopischen Eigenschaften und Wechselwirkungen dieser Teilchen Aussagen über das makroskopische Verhalten des Systems unter Benutzung statistischer Methoden. Insbesondere werden Zustandsgleichungen der Thermodynamik aus mikroskopisch-statistischen Modellen abgeleitet.
In der statistischen Mechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems nicht mehr durch mechanische Bahnen der einzelnen Teilchen, bzw. ihren reinen quantenmechanischen Zustand charakterisiert, sondern nur durch eine Wahrscheinlichkeit derartige mikroskopische Zustände vorzufinden.
Die statistische Mechanik ist vor allem durch Arbeiten von Ludwig Boltzmann, Josiah Willard Gibbs und James Clerk Maxwell entstanden.
Von zentraler Bedeutung für die statistische Mechanik ist die boltzmannsche Formel
- <math>S = k_B~\ln~\Omega.<math>
Hier bezeichnet S die (statistische) Entropie eines abgeschlossenen Systems, d.h. eines mikrokanonischen Ensembles. Die Größe <math>\Omega<math> gibt die Zahl der Mikrozustände an (z.B. Orte und Impulse aller Teilchen in einem Gas), die mit den thermodynamischen Zustandsgrößen Energie, Volumen und Teilchenzahl verträglich sind (Boltzmann bezeichnete diese Größe als "Komplexionzahl" = statistisches Gewicht (manchmal auch W) des markoskopischen Zustands). Die Konstante <math>k_B<math> wird als Boltzmannkonstante bezeichnet und hat die Einheit der Entropie [ Joule/Kelvin ].
Es wird also angenommen, dass nicht ein einziger mikroskopischer Zustand, sondern vielmehr alle möglichen Zustände, das makroskopische Verhalten eines physikalischen Systems bestimmen. Diese Annahme ist komplementär zur mechanischen bzw. quantenmechanischen Beschreibung eines Systems und kommt besonders in dem Konzept des statistischen Ensembles zum Ausdruck.
Ein klassisches Beispiel für die Anwendung der boltzmannschen Formel ist die Ableitung der Zustandsgleichung des idealen Gases.
Für andere Ensemble müssen andere Größen berechnet werden, wie zum Beispiel die Zustandssumme für kanonische Ensemble.
Spielen quantenmechanische Effekte (Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen, Spin) eine Rolle, was i.A. nur bei tiefen Temperaturen der Fall ist, können besondere Phänomene vorhergesagt werden. Für Systeme mit ganzzahligem Spin (Bosonen) folgt die Bose-Einstein-Statistik, welche unterhalb einer kritischen Temperatur einen makroskopischen Quantenzustand vorhersagt - die Bosekondensation.
Systeme mit halbzahligem Spin (Fermionen) gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik. Hierbei blockieren die Teilchen die quantenmechanischen Zustände mit der geringsten Energie, sodass eine charakteristische obere "Energiekante" entsteht, die Fermieenergie. Dieser Effekt ist verantwortlich für die Stabilität der Atomhülle (hier auch unter dem Namen Pauliprinzip bekannt) und auch für die besonderen Eigenschaften der Halbleiter.
Siehe auch: Kinetische Gastheorie
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