Voigtsche Notation
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Einordnung: Kristallographie | Mechanik
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Unter der Voigtschen Notation versteht man eine praktische Schreibweise für symmetrische Tensoren in der Kristallographie, benannt nach dem Göttinger Physiker Woldemar Voigt.
In der Kontinuumsmechanik sind Mechanische Spannungen über das Hookesche Gesetz mit den Verzerrungen (Deformationen) des Kontinuums verknüpft. Spannung und Verzerrung lassen sich jeweils durch einen dreidimensionalen Tensor zweiter Stufe beschreiben, die Verknüpfung durch das Hookesche Gesetz erfolgt dann durch einen dreidimensionalen Tensor vierter Stufe (3×3×3×3 Komponenten!). Ein solcher Tensor lässt sich nur schwer handhaben:
- Ein dreidimensionaler Tensor zweiter Stufe lässt sich in eine 3×3-Matrix auf Papier schreiben
- Ein dreidimensionaler Tensor dritter Stufe lässt sich schon nicht mehr so einfach notieren, denkbar wäre die Eintragung der Komponenten in 3×3×3 Teilwürfel, wie man sie sich bei einem Zauberwürfel vorstellen kann.
- Bei höherstufigen Tensoren versagt auch dieser Ansatz
Die in der Kontinuumsmechanik gebräuchliche Voigt-Notation macht sich die Symmetrie der Verzerrungs- und Spannungstensoren zu Nutze:
Ein symmetrischer dreidimensionalen Tensor zweiter Stufe
<math>\tilde\epsilon=
\begin{pmatrix}
\epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\
\epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\
\epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz}
\end{pmatrix}
<math>
wird in der Voigt-Notation geschrieben als der 6-dimensionaler Vektor
<math>\tilde\epsilon= (\epsilon_{xx}, \epsilon_{yy}, \epsilon_{zz},
\epsilon_{yz},\epsilon_{xz},\epsilon_{xy}).
<math>
Diese Notation erlaubt es, das Hookesche Gesetz als Matrixgleichung zu schreiben: die Verknüpfung von Verzerrung und Verspannung erfolgt dann durch eine einfach zu handhabende quadratische 6×6-Matrix.
Die erhebliche Vereinfachung dieser Notation wird allerdings damit erkauft, dass in dieser Darstellung die Tensoreigenschaften des Hookeschen Gesetzes verlorengehen!
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